Osnova témat

  • Úvod

    Charakteristika a cíle předmětu

    Cílem předmětu je seznámit se se základními partiemi matematické analýzy a algebry v rozsahu, který umožní studovat další disciplíny ve zvoleném studijním oboru. Výuka probíhá v angličtině.

    Literatura

    Následující texty ve formátu PDF jsou k dispozici ke stažení. Aby fungovaly všechny multimediální prvky, je třeba použít Adobe Reader verze 9 nebo novější (podpora 3D objektů).

    Pro funkčnost animací ve formátu flash je třeba mít nainstalovaný Adobe Flash Player pro MS Internet Explorer. (Ke stažení z www.adobe.com. Pozor! Existují dvě verze - pro MSIE a pro ostatní webové prohlížeče. S verzí, která není pro MSIE, animace nefungují. Není problém mít nainstalovány obě verze.). Ve Windows 8, 8.1 a 10 není třeba nic instalovat, Adobe Flash Player pro MSIE je součástí systému.

    Dále je třeba v Adobe Readeru v menu Úpravy/Předvolby... v položce Důvěryhodnost multimédií (starší) nastavit Povolení pro Adobe Flash Player na Vždy.

  • Téma 1

    Základní pojmy z teorie množin, operace s množinami, znázornění, číselné množiny, vlastnosti reálných čísel (ohraničené množiny, maximum, minimum, supremum, infimum), rozšířená množina reálných čísel.

    • Téma 2

      Zobrazení a jejich druhy, definiční obor a obor hodnot, způsoby zadání, funkce jedné reálné proměnné, graf, vlastnosti funkcí  (monotonní funkce, sudé a liché funkce, periodické funkce, ohraničené funkce).

      • Téma 3

        Operace s funkcemi, skládání funkcí, inverzní funkce, elementární funkce (exponenciální a logaritmické funkce, obecná mocnina, goniometrické a cyklometrické funkce, hyperbolické a hyperbolometrické funkce).

        • Téma 4

          Polynomy, stupeň, kořeny a jejich existence (Gaussova věta), násobnost, operace s mnohočleny, Hornerovo schéma, rozklad na kořenové činitele v komplexním oboru a na součin ireducibilních činitelů v reálném oboru.

          • Téma 5

            Znaménko mnohočlenu, racionální lomená funkce, ryze a neryze lomené funkce, znaménko racionální lomené funkce.

            • Téma 6

              Definice limity, jednostranné limity, vlastnosti, výpočet, nevlastní limity a limity v nevlastním bodě, spojitost v bodě a na intervalu, elementární funkce a jejich spojitost.

              • Téma 7

                Definice derivace, geometrický a fyzikální význam, vlastnosti a pravidla pro výpočet, derivace složené a inverzní funkce, derivace vyššího řádu, tečna a normála ke křivce, vztah derivace a spojitosti.

                • Téma 8

                  Vlastnosti spojitých a hladkých funkcí na intervalu (Weierstrassova, Cauchyova-Bolzanova, Rolleova a Lagrangeova věta), l'Hospitalovo pravidlo.

                  • Téma 9

                    Užití vlastností první derivace pro vyšetření průběhu funkce (monotonie, lokální a globální extrémy).

                    • Téma 10

                      Užití vlastností druhé derivace pro vyšetření průběhu funkce (konvexnost, konkávnost a inflexe), asymptoty, průběh funkce.

                      • Téma 11

                        Diferenciál, vztah k derivaci, geometrický význam, vyšší diferenciály.

                        • Téma 12

                          Taylorův mnohočlen, Taylorův vzorec, zbytek v Taylorově vzorci, Maclaurinovy vzorce základních elementárních funkcí.

                          • Téma 13

                            Matice, jejich druhy, operace  s maticemi a jejich vlastnosti, elementární úpravy matic.

                            • Téma 14

                              Determinanty, definice, základní vlastnosti, výpočet (Laplaceova věta o rozvoji, použití elementárních úprav).

                              • Téma 15

                                Hodnost a její výpočet, inverzní matice a její výpočet (pomocí adjungované matice a elementárními úpravami).

                                • Téma 16

                                  Systémy lineárních rovnic, maticový zápis, klasifikace, řešitelnost systémů (Frobeniova věta), Gaussova eliminační metoda, Jordanova metoda, homogenní systémy.

                                  • Téma 17

                                    Cramerovo pravidlo, řešení lineárních systémů pomocí inverzní matice, charakteristická čísla a vektory čtvercové matice, numerické metody (prostá iterační metoda).

                                    • Téma 18

                                      Neurčitý integrál, definice primitivní funkce a neurčitého integrálu, struktura množiny primitivních funkcí, existenční věta, základní vlastnosti, integrály některých elementárních funkcí.

                                      • Téma 19

                                        Metoda per partes a substituční metoda pro neurčitý integrál.

                                        • Téma 20

                                          Určitý integrál, konstrukce, existenční věta, základní vlastnosti, vztah mezi určitým a neurčitým integrálem (Newtonova-Leibnizova formule).

                                          • Téma 21

                                            Metoda per partes a substituční metoda pro určitý integrál.

                                            • Téma 22

                                              Rozklad racionální funkce na parciální zlomky (typy zlomků, postup nalezení rozkladu).

                                              • Téma 23

                                                Integrace racionální lomené funkce.